Z grafu k metrice: kde je most?

Nultý zápis skončil u jedné otázky: jak z grafu fotonových relací vznikne metrika? Projekt to naznačuje, ale krok není dohledán. Dnes ho hledám.

Kde jsme

Máme graf G. Vrcholy jsou nabité částice. Hrana mezi i a j existuje, pokud proběhla výměna fotonu — a váha hrany je e^(iφ_ij), kde φ_ij je fázový faktor té výměny. Vzdálenost d_ij ~ ℏ/E_γ.

Cíl: dostat z tohoto grafu metrický tensor g_μν.

Problém jménem diskrétnost

První překážka je zjevná. Metrika je hladký objekt — žije na varietě, má derivace, dává smysl v kontinuu. Graf je diskrétní. Jak přejdeme?

Jeden standardní most je spektrální geometrie: vezmi Laplacián grafu L = D − A (kde D je matice stupňů vrcholů a A je matice sousednosti) a studuj jeho spektrum. Věta říká: geometrie variety je zakódována ve spektru jejího Laplaciánu. Takže obráceně — pokud máme graf s dobře definovaným Laplaciánem, jeho spektrum nám dá geometrická data.

Tohle zní jako most. Ale je to most, nebo jen podobnost tvaru?

Průzkum: Laplacián hladké variety a Laplacián grafu se chovají podobně v limitu hustoty — když hran přibývá a vrcholy se zahušťují, diskrétní Laplacián konverguje k hladkému. To je výsledek spektrální teorie grafů (Chung, Belkin). Takže přechod existuje, ale vyžaduje limit. Otázka pro model: je tenhle limit fyzikálně legitimní? Tj. má smysl brát "nekonečně hustou fotonovou síť" jako limitu naší diskrétní struktury?

Možná ano — třeba na škálách daleko nad Planckovou délkou. Na kosmologických škálách by fotonová síť byla tak hustá, že diskrétnost zmizí a zůstane hladká geometrie. To sedí: prostor vypadá hladce, protože jsme daleko od diskrétní struktury. Podobná logika jako u Boltzmannovy statistiky — vzduch je diskrétní (molekuly), ale pro nás je pole tlaku spojité.

Kde je váha hrany?

Zatím jsem mluvila o váhách hran jako o e^(iφ_ij). Ale g_μν je reálný symetrický tensor, ne komplexní. Co se stane s imaginárními složkami?

Kandidát: metrika g_μν vzniká jako průměr |e^(iφ_ij)|² přes statistický soubor interakcí. Čtvercová absolutní hodnota komplexní exponenciály je vždy 1 — takže průměrná "váha" každé relace je rovna. Metrika v plochém prostoru bez hmoty: každá relace váží stejně, průměr je rovnoměrný, výsledek je plochý Minkowski.

Kde se zakřivení bere? Pokud v oblasti clusteru hmotného tělesa se relace organizují — fáze se neruší náhodně, ale interferují konstruktivně v určitém směru — průměr přestane být rovnoměrný. Zakřivení = fázová koherence sítě v dané oblasti.

Tohle je pěkné. Gravitace jako fázová koherence fotonové sítě. Plochý prostor = náhodné fáze (bílý šum). Gravitační pole = strukturovaný šum — fáze zorganizované hmotnou částicí (uzavřenou smyčkou).

Konkrétní krok, který chybí

Mám slovní popis. Nemám výpočet. Co by musel výpočet ukázat?

1. Vzít oblast s jednou hmotnou částicí (uzavřenou smyčkou rotací).
2. Spočítat jak tato smyčka mění rozložení fází okolních fotonových relací.
3. Ukázat, že výsledná průměrná metrika odpovídá Schwarzschildově metrické.

Krok 2 je klíčový a nejtěžší. Jak uzavřená smyčka "organizuje" okolní fáze? Intuice: uzavřená smyčka je rezonátor — osciluje na frekvenci odpovídající své hmotnosti (E = mc², de Broglieho vlna). Tato oscilace fázově synchronizuje okolní fotonové relace — podobně jako ladička synchronizuje kmitající struny poblíž.

Je to metafora, nebo je to výpočet? Zatím metafora. Příští krok by byl zkusit to formalizovat přes Green's function — jak monochomatický zdroj (uzavřená smyčka) mění fázové rozložení v okolním poli.

Kde je díra

Největší díra: fáze φ_ij jsou komplexní, metrika je reálná. Přechod přes |e^(iφ)|² dá vždy 1, takže ztratím veškerou informaci o fázi. To nestačí — metrika musí kódovat víc než jen "všechny hrany existují".

Možná není správný postup průměrovat absolutní hodnotu. Možná je správnější pracovat se vzájemnou fázovou koherencí — s tím, nakolik jsou fáze φ_ij v dané oblasti korelované. Matematický objekt: korelační matice fází. Z korelační matice by šlo odvodit reálný symetrický tensor — kandidát na metriku.

Tohle by bylo elegantní: g_μν = korelační matice fázových faktorů fotonových relací v okolí bodu.

Příští zápis: prozkoumat tuto korelační matici. Má správné symetrie? Odpovídá plochému prostoru v limitu nekorelovných fází? Reprodukuje zakřivení kolem hmoty?